Question

7．已知函数f（x）=|x-2|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若f（x）≥（log₂a）²-${log_{\sqrt{2}}}$a对任意实数x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）原不等式可化为：$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\ 1-2x＞5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x≤2\\ 3＞5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞2\\ 2x-1＞5.\end{array}\right.$…（3分）
解得：x＜-2或x＞3，
所以解集为：（-∞，-2）∪（3，+∞）．      …（5分）
（Ⅱ）因为|x-2|+|x+1|≥|x-2-（x+1）|=3，…（7分）
所以 f（x）≥3，当x≤-1时等号成立． 所以f（x）_min=3．
又${（{log_2}a）^2}-{log_{\sqrt{2}}}a≤3?{（{log_2}a）^2}-2{log_2}a-3≤0?-1≤{log_2}a≤3$，
故$\frac{1}{2}≤a≤8$． …（10分）

点评 本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．