Question

18．已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=$\frac{1}{2}$，∠F₁AF₂的平分线所在直线为l．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；
（Ⅲ）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）求得AF₁方程、AF₂方程，利用角平分线性质，即可求得∠F₁AF₂的平分线所在直线l的方程；
（Ⅲ）假设存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2x-y-1=0上，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$  （a＞b＞0）
∵椭圆E经过点A（2，3），离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$解a²=16，b²=12．
∴椭圆方程E为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）F₁（-2，0），F₂（2，0），
∵A（2，3），∴AF₁方程为：3x-4y+6=0，AF₂方程为：x=2
设角平分线上任意一点为P（x，y），$\frac{|3x-4y+6|\\;\\;}{5}=|\\;x-2|\$；
得2x-y-1=0或x+2y-8=0
∵斜率为正，∴直线方程为2x-y-1=0；l与x轴的交点为Q，点Q的坐标（$\frac{1}{2}$，0）．
（Ⅲ）假设存在B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）两点关于直线l对称，∴kBC=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BC方程为y=-$\frac{1}{2}$x+m代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．，
得x²-mx+m²-12=0，∴BC中点为（$\frac{m}{2}，\frac{3m}{4}$）
代入直线2x-y-1=0上，得m=4．                                      
∴BC中点为（2，3）与A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．