Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-4a）x+3a，x＜0}\\{{log}_{a}（x+1），x≥0}\end{array}\right.（a＞0，a≠1）$在R上单调递减，且方程|f（x）|=2有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

Answer 1

分析 由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．

解答 解：∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x²+（2-4a）x+3a在（-∞，0）上单调递减，y=log_a（x+1）在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（-∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≥0}\\{0＜a＜1}\\{3a≥0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$≤a≤1．
∵方程|f（x）|=2有两个不相等的实数根，
∴3a≤2，即a≤$\frac{2}{3}$．
综上，$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{2}{3}$．
故答案为[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，判断端点值的大小是关键，属于中档题．