Question

13．已知函数$f（x）=x+a1nx（a∈R），g（x）=\frac{{{e^{x-1}}}}{x}-1$．
（I）若直线y=0与函数y=f（x）的图象相切，求a的值；
（Ⅱ）设a＞0，对于?x₁，x₂∈[3，+∞）（x₁≠x₂），都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出切点坐标，求出x₀=-a，根据y₀=x₀+alnx₀=0，求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤$\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{x}$-x在[3，+∞）恒成立，即a≤$（\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{x}-x）$_min，设v（x）=$（\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{x}-x）$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）设y=0和y=f（x）的切点是（x₀，y₀），（x₀＞0），
∵f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，∴f′（x₀）=1+$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，
解得：x₀=-a，
又∵y₀=x₀+alnx₀=0，
∴a=-e；
（Ⅱ）f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，g′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{{x}^{2}}$，
又a＞0，x∈[3，+∞），
∴f′（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴f（x），g（x）在[3，+∞）递增，
不妨设x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＜g（x₂），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|?f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂），
设h（x）=f（x）-g（x），
∵h（x₁）＞h（x₂），∴h（x）在[3，+∞）等价，
∵h′（x）=1+$\frac{a}{x}$-$\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{{x}^{2}}$≤0，
故a≤$\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{x}$-x在[3，+∞）恒成立，
即a≤$（\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{x}-x）$_min，
设v（x）=$（\frac{（x-1{）e}^{x-1}}{x}-x）$，
v′（x）=e^x-1[（${（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$]-1≥$\frac{3}{4}$e²-1＞0，
∴v（x）在[3，+∞）递增，
∴v（x）≥v（3）=$\frac{{2e}^{2}}{3}$-3，
∴a≤$\frac{{2e}^{2}}{3}$-3，而a＞0，
故a的范围是（0，$\frac{{2e}^{2}}{3}$-3]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．