Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b²-c²+2a=0，$\frac{tanC}{tanB}$=3，则a=4．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理整理可得cosC=$\frac{a-2}{2b}$，由$\frac{tanC}{tanB}$=3，利用三角函数恒等变换的应用可得：sinCcosB=3cosCsinB，从而可求sinA=4sinBcosC，由正弦定理可得cosC=$\frac{a}{4b}$，联立即可解得a的值．

解答 解：∵由已知可得：c²=b²+2a，
∴由余弦定理c²=b²+a²-2abcosC，可得：2a=a²-2abcosC，整理可得：cosC=$\frac{a-2}{2b}$，①
∴$\frac{tanC}{tanB}$=3，可得：$\frac{sinCcosB}{cosCsinB}=3$，可得：sinCcosB=3cosCsinB，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC，
∴由正弦定理可得：a=4bcosC，即cosC=$\frac{a}{4b}$，②
∴由①②可得：$\frac{a-2}{2b}$=$\frac{a}{4b}$，解得：a=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．