Question

8．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（2）若把曲线C₁上各点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用sin²θ+cos²θ=1消去参数可得曲线C₁的普通方程，与直线l联立方程组求解A，B坐标，两点之间的距离公式可得|AB的长度．
（2）由题意得曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ是参数），设点$P（\sqrt{3}cosθ，3sinθ）$，点到直线的距离公式，利用三角函数的有界限，可得距离的最大值．

解答 解：（1）由题意，消去参数t，得直线l的普通方程为$y=\sqrt{3}（x-1）$，
根据sin²θ+cos²θ=1消去参数，曲线C₁的普通方程为x²+y²=1，
联立得$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}（x-1）\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$解得A（1，0），$B（\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴|AB|=1．
（2）由题意得曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ是参数），设点$P（\sqrt{3}cosθ，3sinθ）$，
∴点P到直线l的距离$d=\frac{{|3cosθ-3sinθ-\sqrt{3}|}}{2}$=$\frac{1}{2}|3\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{3}|$，
当$sin（θ-\frac{π}{4}）=1$时，${d_{max}}=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$．
∴曲线C₂上的一个动点它到直线l的距离的最大值为$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了直角坐标方程与极坐标、参数方程之间的转换，考查了参数方程的几何意义．属于中档题．