Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦距为2，离心率e为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点$P（{\frac{1}{2}，1}）$作圆$O：{x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的切线，切点分别为M、N，直线MN与x轴交于点F，过点F的直线l交椭圆C于A、B两点，点F关于y轴的对称点为G，求△ABG的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的焦距为2，离心率e为$\frac{1}{2}$．求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由题意，得O、M、P、n四点共圆，该圆的方程为（x-$\frac{1}{4}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{16}$，圆O的方程为x²+y²=$\frac{1}{2}$，直线MN的方程为x+2y-1=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}$|GF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|，从而S_△ABG最大，|y₁-y₂|就最大．可设直线l的方程为x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出△ABG的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，焦距为2，离心率e为$\frac{1}{2}$．
∴由题意，2c=2，解得c=1，
由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=2．∴b=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由题意，得O、M、P、n四点共圆，
该圆的方程为（x-$\frac{1}{4}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{16}$，
又圆O的方程为x²+y²=$\frac{1}{2}$，
∴直线MN的方程为x+2y-1=0，令y=0，得x=1，
即点F的坐标为（1，0），则点F关于y轴的对称点为G（-1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${S}_{△ABG}=\frac{1}{2}$|GF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
∴S_△ABG最大，|y₁-y₂|就最大．
由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
又∵直线l与椭圆C交于不同的两点，
∴△＞0，即（6m）²+36（3m²+4）＞0，m∈R，
则S_△GAB=$\frac{1}{2}$|GF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，则t≥1，S_△GAB=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{4}{t+\frac{\frac{1}{3}}{t}}$．
令f（t）=t+$\frac{\frac{1}{3}}{t}$，则函数f（t）在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上单调递增，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
∴f（t）≥f（1）=$\frac{4}{3}$，∴S_△GAB≤3．
故△ABG的面积的最大值为3．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式等知识点的合理运用．