Question

14．甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．
（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；
（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A$\overline{B}\overline{C}$）=P（A）•P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=P（A）•[1-P（B）][1-P（C）]，由此能求出结果．
（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．

解答 解　（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，
C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）
则P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（B）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（C）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$．
∵事件A、B、C相互独立，
∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：
P（A$\overline{B}\overline{C}$）=P（A）•P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=P（A）•[1-P（B）][1-P（C）]
=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{75}$．…（4分）
（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为
P（X=0）=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{75}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{20}{75}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{33}{75}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{75}$，…（8分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

∴X的数学期望E（X）=0×$\frac{4}{75}$+1×$\frac{20}{75}$+2×$\frac{33}{75}$+3×$\frac{18}{75}$=$\frac{140}{75}$=$\frac{28}{15}$…（10分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．