练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    4．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，点$P（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆C上，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点B，且$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{{F_2}B}=\overrightarrow 0$．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得36|QP|2=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）设出B的坐标，根据$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{AB}$=0，以及F1为F2B的中点，求出a=2c，得到关于a，b，c的方程，求出椭圆的方程即可；
    （2）设直线m的范围为y=k（x-4），联立方程组得到（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，求出k的范围，设M（x1，y1），N （x2，y2），得到关于k的方程，解出即可．

    解答 解：（1）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），
    得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（-c，b），$\overrightarrow{AB}$=（x0，-b），
    ∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{AB}$=0，∴-cx0-b2=0，
    ∴x0=-$\frac{{b}^{2}}{c}$，
    ∵2$\overrightarrow{{{F}_{1}F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，
    ∴F1为F2B的中点，
    ∴-$\frac{{b}^{2}}{c}$+c=-2c，
    ∴b2=3c2=a2-c2，
    ∴a=2c，
    由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}=1}\\{a=2c}\\{{a}^{2}{=b}^{2}{+c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=1}\\{{b}^{2}=3}\\{{a}^{2}=4}\end{array}\right.$，
    ∴椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
    （2）由题意得直线m的斜率存在，
    ∴可设直线m的范围为y=k（x-4），
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，
    由△=（32k2）2-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，
    解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{1}{2}$，
    设M（x1，y1），N （x2，y2），
    则x1+x2=$\frac{3{2k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$，x1x2=$\frac{6{4k}^{2}-12}{3+{4k}^{2}}$，
    ∵|PQ|2=$\frac{45}{4}$，∴|QM|•|QN|=$\frac{81}{7}$，
    又|QM|•|QN|=$\sqrt{{（4{-x}_{1}）}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$×$\sqrt{{（4{-x}_{2}）}^{2}{{+y}_{2}}^{2}}$
    =（k2+1）[x1x2-4（x1+x2）+16]=（k2+1）•$\frac{36}{3+{4k}^{2}}$，
    ∴（k2+1）•$\frac{36}{3+{4k}^{2}}$=$\frac{81}{7}$，
    解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，经检验成立，
    ∴直线方程是y=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）即$\sqrt{2}$x+4y-4$\sqrt{2}$=0或$\sqrt{2}$x-4y-4$\sqrt{2}$=0．

    点评 本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆位置关系的问题，考查分析理解与计算能力．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    14．甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．
    （1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；
    （2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    15．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-6≤0}\\{x-y-1≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+2y仅在点（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）处取得最大值，则a的值可以为（　　）
    A．-8B．-4C．4D．8

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＜0}\\{m-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，给出下列两个命题：命题p：?m∈（-∞，0），方程f（x）=0有实数解；命题q：当m=$\frac{1}{4}$时，f（f（-1））=0，则下列命题为真命题的是（　　）
    A．p∧qB．（￢p）∧qC．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    19．在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．
    坐标系与参数方程不等式选讲
    人数及均分人数均分 人数 均分
    男同学14867
    女同学86.5125.5
    （Ⅰ）求全班选做题的均分；
    （Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？
    （Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．
    参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，n=a+b+c+d．
    下面临界值表仅供参考：
    P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
    k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    9．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≤4}\\{x+y-2≥0}\\{x-y+8≥0}\end{array}\right.$，若z=$\frac{1}{2}$ax+y的最大值为2a+12，最小值为2a-2，则a的取值范围是[-2，2]．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    16．以下四个命题中，真命题是（　　）
    A．?x∈（0，π），sinx=tanx
    B．“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“?x0∈R，x02+x0+1＜0”
    C．?θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数
    D．条件p：$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞4}\\{xy＞4}\end{array}\right.$，条件q：$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{y＞2}\end{array}\right.$则p是q的必要不充分条件

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．已知函数f（x）=alnx+2a，g（x）=x+$\frac{a}{x}$（其中a为常数，a∈R）．
    （Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
    （Ⅱ）当a＞0时，是否存在实数a，使得对于任意x1、x2∈[1，e]时，不等式f（x1）-g（x2）＞0恒成立？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    13．双曲线实半轴长为2，焦点为（-3，0）、（3，0），则该双曲线为（　　）
    A．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1B．$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1C．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1D．$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案