Question

19．在高三一次数学测验后，某班对选做题的选题情况进行了统计，如表．

	坐标系与参数方程		不等式选讲
人数及均分	人数	均分	人数	均分
男同学	14	8	6	7
女同学	8	6.5	12	5.5

（Ⅰ）求全班选做题的均分；
（Ⅱ）据此判断是否有90%的把握认为选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关？
（Ⅲ）已知学习委员甲（女）和数学科代表乙（男）都选做《不等式选讲》．若在《不等式选讲》中按性别分层抽样抽取3人，记甲乙两人被选中的人数为，求的数学期望．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，n=a+b+c+d．
下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分即可；
（Ⅱ）由表中数据计算观测值，对照临界值表得出结论；
（Ⅲ）计算学习委员甲被抽取的概率和数学科代表乙被抽取的概率，
从而得出甲乙两人均被选中的概率．

解答 解：（Ⅰ）根据表中数据，计算全班选做题的平均分为
$\overline{x}$=$\frac{1}{40}$×（14×8+8×6.5+6×7+12×5.5）=6.8．
（Ⅱ）由表中数据计算观测值：
${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$=$\frac{40{×（14×12-8×6）}^{2}}{22×18×20×20}$=$\frac{40}{11}$≈3.636＞2.706，
所以，据此统计有90%的把握认为
选做《坐标系与参数方程》或《不等式选讲》与性别有关．
（Ⅲ）学习委员甲被抽取的概率为$\frac{1}{12}$，
设《不等式选讲》中6名男同学编号为乙，1，2，3，4，5；
从中随机抽取2人，共有15种抽法：
乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，
1与2，1与3，1与4，1与5，2与3，
2与4，2与5，3与4，3与5，4与5，
数学科代表乙被抽取的有5种：
乙与1，乙与2，乙与3，乙与4，乙与5，
数学科代表乙被抽取的概率为$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$，
∴甲乙两人均被选中的概率为$\frac{1}{12}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$．

点评 本题考查了对立性检验和列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．