Question

11．设等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₅=15，且2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}={2^n}•{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的首项与公差通过数列的和求出a₃，利用2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比数列．求出公差，然后求解数列的通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，S₅=15，所以a₃=3，2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比数列．所以a₆²=2a₂（a₈+1），即：（a₃+3d）²=2（a₃+d）（a₃+5d+1），所以d=1或d=$-\frac{15}{19}$（舍去），
所以a₁=a₃-2d=3-2=1．
所以a_n=n，
数列{a_n}的通项公式为：a_n=n；
（2）由（1）可知：设${b_n}={2^n}•{a_n}$=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ…①；
①×2可得：2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹…②，
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹．
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列求和，数列通项公式的应用，考查计算能力．