Question

5．已知平面直角坐标系内的两个向量$\overrightarrow a=（m，3m-4）$，$\overrightarrow b=（1，2）$，且平面内的任一向量$\overrightarrow{c}$都可以唯一的表示成$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$（λ，μ为实数），则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4）
• B． （4，+∞）
• C． （-∞，4）∪（4，+∞）
• D． （-∞，+∞）

Answer 1

分析 根据基底的定义可知：平面内的任一向量$\overrightarrow{c}$都可以唯一的表示成$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是平面内表示所有向量的一组基底．即$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线即可．

解答 解：由题意可知：平面内的任一向量$\overrightarrow{c}$都可以唯一的表示成$\overrightarrow{c}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是平面内表示所有向量的一组基底．
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$必须不共线．
可得：$\frac{m}{1}≠\frac{3m-4}{2}$
解得：m≠4．
故得m的取值范围是（-∞，4）∪（4，+∞）．
故选C．

点评 本题主要考查了基底的定义的运用．基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．属于基础知识考查了．