Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}={a_n}+{n^2}-1（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）定义x=[x]+＜x＞，其中[x]为实数x的整数部分，＜x＞为x的小数部分，且0≤＜x＞＜1，记c_n=＜$\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{S_n}$＞，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式可得，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，整理可得a_n-1，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n，代入c_n=＜$\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{S_n}$＞，利用裂项相消法求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={a_n}+{n^2}-1（{n∈{N^*}}）$，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={a}_{n}+{n}^{2}-1-[{a}_{n-1}+（n-1）^{2}-1]$，
整理得：a_n-1=2n-1，
∴a_n=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${S}_{n}={n}^{2}+2n$，
∴$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{S}_{n}}=\frac{（2n+1）（2n+3）}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{4{n}^{2}+8n+3}{{n}^{2}+2n}=4+\frac{3}{{n}^{2}+2n}$．
∴当n=1时，c₁=＜4+1＞=0，
当n≥2时，有0＜$\frac{3}{{n}^{2}+2n}$＜1．
∴${c}_{n}=\frac{3}{{n}^{2}+2n}=\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$（n≥2）．
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=0+$\frac{3}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{5{n}^{2}+3n-8}{4{n}^{2}+12n+8}$．
验证n=1成立，
∴${T}_{n}=\frac{5{n}^{2}+3n-8}{4{n}^{2}+12n+8}$．

点评 本题考查数列求和，着重训练了裂项相消法，属中档题．