Question

10．已知a∈R，函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}-a}}$．
（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；
（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）-f（2x）的零点个数；
（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=0时，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$，即可解不等式f（x）＞1；
（2）当a＞0时，换元，分类讨论，即可求函数y=2f（x）-f（2x）的零点个数；
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）-f（t+1）≤1，即$\frac{1}{{2}^{t}-a}$-$\frac{1}{{2}^{t+1}-a}$≤1，设x=2^t（x＞0），则2x²-（3a+1）x+a²≥0，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵f（x）＞1，即$\frac{1}{{2}^{x}}$＞1，∴0＜2^x＜1，
解得x＜0．
（2）y=2f（x）-f（2x）=$\frac{2}{{2}^{x}-a}-\frac{1}{{2}^{2x}-a}$，
∴函数y=2f（x）-f（2x）的定义域为{x|x≠log₂a，且x≠$\frac{1}{2}$log₂a}．
令y=0得2^2x+1-2^x-a=0，
令t=2^x（t＞0，且t≠a，t$≠\sqrt{a}$），方程为2t²-t-a=0，△=1+8a＞0，
若a=1，t=1或-$\frac{1}{2}$，方程无解，即函数y=2f（x）-f（2x）的零点个数为0
若0＜a＜1或a＞1，方程有两个不相等的解，即函数y=2f（x）-f（2x）的零点个数为2；
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）-f（t+1）≤1，即$\frac{1}{{2}^{t}-a}$-$\frac{1}{{2}^{t+1}-a}$≤1，
∴2^2t+1-（3a+1）•2^t+a²≥0，
设x=2^t（x＞0），则2x²-（3a+1）x+a²≥0，
∴△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{3a+1}{4}≤0}\\{{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$，∴a≤-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，以及指数不等式的应用，考查换元法、函数的零点．综合性较强，难度较大．