Question

1．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表

组别	PM2.5浓度 （微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，25]	3	0.15
第二组	（25，50]	12	0.6
第三组	（50，75]	3	0.15
第四组	（75，100]	2	0.1

（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；
（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．
①求图中a的值；
②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A₁，A₂，A₃，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B₁，B₂，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；
（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得a值；
②利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．

解答 解：（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A₁，A₂，A₃，
PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B₁，B₂．
所以5天任取2天的情况有：
A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₂A₃，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共10种． …（4分）
其中符合条件的有：A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂共6种． …（6分）
所以所求的概率P=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$． …（8分）
（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，
解得：a=0.004
②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．…（10分）
因为42.5＞35，
所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …（12分）

点评 本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．