Question

16．函数f（x）=lnx-mx
（Ⅰ）若曲线y=f（x）过点P（1，-1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（Ⅲ）若x∈[1，e]，求证：lnx＜$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线y=f（x）过点P（1，-1），可得-1=ln1-m，解得m，再利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式可得切线方程．
（Ⅱ）求出f′（x），对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出最值．
（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线y=f（x）过点P（1，-1），∴-1=ln1-m，解得m=1．
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
f′（1）=0，
∴过点P（1，-1）的切线方程为y=-1．
（Ⅱ）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-m=$\frac{1-mx}{x}$．
①当m≤0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）为单增函数，∵在x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
②当$\frac{1}{e}$＜m＜1时，即1＜$\frac{1}{m}$＜e时，x∈（0，$\frac{1}{m}$）时，f'（x）＞0，f（x）为单增函数．
x∈（$\frac{1}{m}$，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为单减函数．
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=-lnm-1．
③当m≥1时，0＜$\frac{1}{m}$≤1，f（x）在（$\frac{1}{m}$，+∞）为单减函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．
④当0＜m≤$\frac{1}{e}$时，$\frac{1}{m}$≥e，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）为单增函数，
∴x∈[1，e]上，f（x）_max=f（e）=1-me．
综上所述：m≤$\frac{1}{e}$时，f（x）_max=f（e）=1-me．
当$\frac{1}{e}$＜m＜1时，f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=-lnm-1．
当m≥1时，x∈[1，e]上，f（x）_max=f（1）=-m．
（Ⅲ）由（Ⅱ）②得：m=$\frac{1}{2}$，f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=f（2）=-ln2-1＜0，
故x∈[1，e]，lnx＜$\frac{x}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、解不等式、导数的几何意义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．