Question

12．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-x，x＞1\\ 1，x≤1\end{array}\right.$，则不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$的解集是（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 求出x＞1的导数，判断符号，可得f（x）在R上单调递增，讨论x＞1，0＜x≤1，x＜0，得到不等式组，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-x，x＞1\\ 1，x≤1\end{array}\right.$，
由x＞1时，y=2x-x的导数为y′=2^xln2-1，
2^xln2-1＞0，
可得f（x）在R上单调递增，
由不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$，
可得当x＞1时，x＜$\frac{2}{x}$解得1＜x＜$\sqrt{2}$；
当0＜x≤1时，x＜$\frac{2}{x}$解得0＜x≤1；
当x＜0时，不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$不成立．
综上可得，不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$的解集是（0，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题和易错题．