Question

2．已知函数f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求f（x-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值．
（2）根据f（x）=$\frac{3}{2}$的值；构造f（x-$\frac{π}{6}$）的关系式，即可求值．

解答 解：函数f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x-1，
化简可得：f（x）=1-cos（2x+$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x-1
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]
2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[1，2]
故得f（x）的最小值为1．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
可得：f（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{2π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}-\frac{π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-2cos（2x-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$．
∵f（x）=$\frac{3}{2}$，即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，
可得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{4}$$＜\frac{2\sqrt{3}}{4}$，
即2x-$\frac{π}{3}$$＜\frac{π}{3}$，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
那么：f（x-$\frac{π}{6}$）=$2×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}+3}{4}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．