Question

20．已知椭圆$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₂与椭圆上点的连线的中最短线段的长为$\sqrt{2}-1$．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）已知Γ上存在一点P，使得直线PF₁，PF₂分别交椭圆Γ于A，B，若${\overrightarrow{PF}_1}=2\overrightarrow{{F_1}A}，{\overrightarrow{PF}_2}=λ\overrightarrow{{F_2}B}（{λ＞0}）$，求直线PB的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率和右焦点F₂与椭圆上点的连线的中最短线段的长，
列出方程组求出a、c的值，再求出b的值，即可写出椭圆Γ的标准方程；
（2）设点P、A和B的坐标，写出直线l_PA的方程，并与椭圆方程组成方程组，
消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系，
结合题意求出点P的坐标，即可求出直线PB的斜率值．

解答 解：（1）椭圆$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…①
右焦点F₂与椭圆上点的连线的中最短线段的长为$\sqrt{2}-1$，
即a-c=$\sqrt{2}$-1；…②
由①②解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}{-c}^{2}}$=1；
∴椭圆Γ的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设点P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l_PA的方程为：x=my-1；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+1）y²-2my-1=0；
则y₀•y₁=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
又$\frac{1}{m}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，∴m=$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$；
∴$\frac{|{PF}_{1}|}{{|F}_{1}A|}$=-$\frac{{y}_{0}}{{y}_{1}}$=-$\frac{{y}_{0}}{-\frac{1}{{（m}^{2}+2{）y}_{0}}}$
=（m²+2）${{y}_{0}}^{2}$=[$\frac{{{（x}_{0}+1）}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$+2]${{y}_{0}}^{2}$
=${{（x}_{0}+1）}^{2}$+2${{y}_{0}}^{2}$=${{（x}_{0}+1）}^{2}$+2-${{x}_{0}}^{2}$；
∴$\frac{|{PF}_{1}|}{{|F}_{1}A|}$=3+2x₀，∴2+2x₀=2，
解得x₀=-$\frac{1}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，±$\frac{\sqrt{14}}{4}$），
∴K_PB=${K}_{{PF}_{2}}$=$\frac{±\frac{\sqrt{14}}{4}}{-\frac{1}{2}-1}$=$\overline{+}$$\frac{\sqrt{14}}{6}$；
故直线PB的斜率为±$\frac{\sqrt{14}}{6}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线方程的综合应用问题，也考查了方程组和根与系数的应用问题，是综合性题目．