Question

12．已知过抛物线y²=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，则直线l的方程为（　　）

• A． x-2y-1=0
• B． 2x-y-2=0
• C． x-$\sqrt{3}$y-1=0
• D． $\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0

Answer 1

分析 作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值．

解答 解：作出抛物线的准线l：x=-1，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，∴设AF=3m，BF=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m，BD=m．
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°
所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，
得直线AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$．
则直线l的方程为：y=$\sqrt{3}（x-1）$，即$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
故选：D．

点评 本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．