Question

1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且f（4）=4，则f（2012）=（　　）

• A． 0
• B． -4
• C． -8
• D． -16

Answer 1

分析 先利用函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，得到函数y=f（x）是奇函数，然后求出f（3）=0，最后利用函数的周期性求f（2012）的值．

解答 解：因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
所以函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）是奇函数，
令x=-3得，f（-3+6）+f（-3）=2f（3），
即f（3）-f（3）=2f（3），解得f（3）=0．
所以f（x+6）+f（x）=2f（3）=0，即f（x+6）=-f（x），
所以f（x+12）=f（x），即函数的周期是12．
所以f（2012）=f（12×168-4）=f（-4）=-f（4）=-4．
故选：B．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．