Question

8．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点$Q（{b\;\;，\;\;\frac{a}{b}}）$在椭圆上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率得出a、c的关系，再由a、b、c的平方关系，
把点Q的坐标代入椭圆C的方程，求出b、a的值，写出椭圆C的方程；
（2）讨论直线PN的斜率k不存在和斜率k存在时，分别计算四边形OPMN的面积S，
即可得出四边形OPMN的面积为定值．

解答 解：（1）由椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
得${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，
∴a²=2b²；
将Q代入椭圆C的方程，得$\frac{{b}^{2}}{{2b}^{2}}$+$\frac{{2b}^{2}}{{b}^{4}}$=1，
解得b²=4，
∴a²=8，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$，
从而有$|{PN}|=2\sqrt{3}$，
所以四边形OPMN的面积为
$S=\frac{1}{2}|{PN}|•|{OM}|=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}=2\sqrt{6}$；
当直线PN的斜率k存在时，
设直线PN方程为：y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
将PN的方程代入C整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，
${y_1}+{y_2}=k（{{x_1}+{x_2}}）+2m=\frac{2m}{{1+2{k^2}}}$，
由$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{ON}$得：$M（{\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}，\frac{2m}{{1+2{k^2}}}}）$，
将M点坐标代入椭圆C方程得：m²=1+2k²；
点O到直线PN的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
$|{PN}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$，
四边形OPMN的面积为
$S=d•|{PN}|=|m|•|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+2{k^2}}•|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{16{k^2}-8{m^2}+32}=2\sqrt{6}$．
综上，平行四边形OPMN的面积S为定值$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，考查了转化法与方程组以及根与系数关系的应用问题，是综合性题目．