Question

15．中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：

井号I	1	2	3	4	5	6
坐标（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
钻探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的$\widehat{b}$，$\widehat{a}$的值（$\widehat{b}$，$\widehat{a}$精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}$=94，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}$=945）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用前5组数据与平均数的计算公式可得$\overline{x}$=5，$\overline{y}$=50，代入y=6.5x+a，可得a，进而定点y的预报值．
（Ⅱ）根据计算公式可得$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$≈10.25，$\widehat{a}$=5.25，$\widehat{b}$=10.25，计算可得并且判断出结论．
（Ⅲ）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{4-k}}{{∁}_{6}^{4}}$，可得X的分布列及其数学期望．

解答 解：（Ⅰ）利用前5组数据得到$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
∵y=6.5x+a，
∴a=50-6.5×5=17.5，
∴回归直线方程为y=6.5x+17.5，
当x=1时，y=6.5+17.5=24，
∴y的预报值为24．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，$\sum_{i=1}^{4}$${x}_{2i-1}^{2}$=84，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}$=945，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{945-4×4×46.25}{84-4×{4}^{2}}$≈10.25，
∴$\widehat{a}$=46.25-10.25×4=5.25，
即$\widehat{b}$=10.25，$\widehat{a}$=5.25，b=6.5，a=17.5，$\frac{10.25-6.5}{6.5}$≈57%，$\frac{17.5-5.25}{17.5}$≈70%，均超过10%，
∴均超过10%，∴不可使用位置最接近的已有旧井6（1，24）．
（Ⅲ）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，
∴勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，
P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{4-k}}{{∁}_{6}^{4}}$，可得P（X=2）=$\frac{2}{5}$，P（X=3）=$\frac{8}{15}$，P（X=4）=$\frac{1}{15}$．
∴X的分布列为：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=2×$\frac{2}{5}$+3×$\frac{8}{15}$+4×$\frac{1}{15}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．