Question

10．如图所示，用一边长为$\sqrt{2}$的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为$\frac{4π}{3}$的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案．

解答 解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，
故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，
由于鸡蛋的体积为$\frac{4}{3}$π，故鸡蛋（球）的半径为1，
故球心到截面圆的距离为$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
而垂直折起的4个小直角三角形的高为$\frac{1}{2}$，
故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题．