Question

5．已知，函数f（x）=|x+a|+|x-b|．
（Ⅰ）当a=1，b=2时，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）若a，b∈R，且$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$=1，求证：f（x）≥$\frac{9}{2}$；并求f（x）=$\frac{9}{2}$时，a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1，b=2时，把不等式f（x）＜4转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式、基本不等式求得f（x）的最小值为$\frac{9}{2}$，从而证得结论，此时，由b=2a，$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}=1$，解得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1，b=2时，不等式f（x）＜4化为|x+1|+|x-2|＜4，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1+2-x＜4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{x+1+2-x＜4}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+1+x-2＜4}\end{array}\right.$ ③．
解①求得-$\frac{3}{2}$＜x＜-1，解②求得-1≤x≤2，解③求得2≤x＜$\frac{5}{2}$，
∴不等式f（x）＜4的解集为$\{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{5}{2}\}$．
（Ⅱ）证明：f（x）=|x+a|+|x-b|≥|（x+a）-（x-b）|=|a+b|=a+b
=$（a+b）（\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}）$=$\frac{5}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}$$≥\frac{5}{2}+2\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{2a}{b}}$=$\frac{9}{2}$，
当且仅当$\frac{b}{2a}=\frac{2a}{b}$，即b=2a时“=”成立．
又当f（x）=$\frac{9}{2}$时，b=2a，$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}=1$，解得$a=\frac{3}{2}$，b=3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题．