Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，倒棱AA₁⊥平面ABC，点E，F分别是棱CC₁，BB₁上的点，且EC=2FB=2．
（Ⅰ）若点M是线段AC的中点，证明：
（1）MB∥平面AEF；
（2）平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ） （1）取线段AE的中点G，连结MG，由三角形中位线定理可得MG=$\frac{1}{2}EC=BF$，又MG∥EC∥BF，可得MBFG是平行四边形，故MB∥FG，由线面平行的判定可得MB∥平面AEF；
（2）由MB⊥AC，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，可得MB⊥平面ACC₁A₁，进一步得到FG⊥平面ACC₁A₁．由面面垂直的判定可得平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）作AD⊥BC于D，则AD⊥平面BEF，由等积法结合已知求出三棱锥A-BEF的体积得答案．

解答 （Ⅰ）证明：（1）取线段AE的中点G，连结MG，
则MG=$\frac{1}{2}EC=BF$，又MG∥EC∥BF，
∴MBFG是平行四边形，故MB∥FG．
而FG?平面AEF，MB?平面AEF，
∴MB∥平面AEF；
（2）∵MB⊥AC，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴MB⊥平面ACC₁A₁，而BM∥FG，
∴FG⊥平面ACC₁A₁．
∵FG?平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）解：作AD⊥BC于D，则AD⊥平面BEF，且AD=$\sqrt{3}$．
于是${V}_{A-BEF}=\frac{1}{3}×{S}_{△BEF}×AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故${V}_{B-AEF}={V}_{A-BEF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属中档题．