Question

6．已知函数f（x）=2sinx-3x，若对任意m∈[-2，2]，f（ma-3）+f（a²）＞0的恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-3，3）
• D． （-∞，-3）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先利用定义、导数分别判断出函数的奇偶性、单调性，然后利用函数的性质可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式，借助一次函数的性质可得a的不等式组，解出可得答案．

解答 解：∵f（-x）=2sin（-x）-3（-x）=-（2sinx-3x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
又f'（x）=2cosx-3＜0，∴f（x）单调递减，
f（ma-3）+f（a²）＞0可化为f（ma-3）＞-f（a²）=f（-a²），
由f（x）递减知ma-3＜-a²，即ma+a²-3＜0，
∴对任意的m∈[-2，2]，f（ma-3）+f（a²）＞0恒成立，
等价于对任意的m∈[-2，2]，ma+a²-3＜0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2a+{a}^{2}-3＜0}\\{2a+{a}^{2}-3＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜1，
故选：A．

点评 本题考查恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，是中档题．