Question

15．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，离心率为$\frac{1}{2}$，直线l与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过点M（-4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的定义，得a=2，又离心率为$\frac{1}{2}$，从而$c=1，b=\sqrt{3}$，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程为x=my-4，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²-24my+36=0．由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线AB的方程．

解答 解：（1）设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的定义，得|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a，
而△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a，
当且仅当AB过点F′时，等号成立，
所以4a=8，即a=2，又离心率为$\frac{1}{2}$，所以$c=1，b=\sqrt{3}$，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设直线AB的方程为x=my-4，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²-24my+36=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△=576m²-4×36（3m²+4）=144（m²-4）＞0，
且${y_1}+{y_2}=\frac{24m}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{36}{{3{m^2}+4}}$，所以${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}•3|{y_1}-{y_2}|=\frac{{18\sqrt{{m^2}-4}}}{{3{m^2}+4}}$②
令$t=\sqrt{{m^2}-4}（t＞0）$，则②式可化为${S_{△ABF}}=\frac{18t}{{3{t^2}+16}}=\frac{18}{{3t+\frac{16}{t}}}≤\frac{18}{{2\sqrt{3t•\frac{16}{t}}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
当且仅当$3t=\frac{16}{t}$，即$m=±\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$时，等号成立．
所以直线AB的方程为$x=\frac{{2\sqrt{21}}}{3}y-4$或$x=-\frac{{2\sqrt{21}}}{3}y-4$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、直线、椭圆性质的合理运用．