Question

3．已知右焦点为F₂（c，0）的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{3}{2}$），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（$\frac{1}{2}$，0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{3}{2}$），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，求出a，b，c，椭圆方程可求；
（2）线l过点（$\frac{1}{2}$，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+$\frac{1}{2}$，和椭圆方程联立，把MA的斜率用直线l的斜率表示，由基本不等式求得范围．

解答 解：（1）∵椭圆C过点（1，$\frac{3}{2}$），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，①…（1分）
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c，…（2分）
∴${b}^{2}=\frac{3}{4}{a}^{2}$，②…（3分）
由①②得a=2，b=$\sqrt{3}$，…（4分）
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（5分）
（2）依题意，直线l过点（$\frac{1}{2}$，0）且斜率不为零，故可设其方程为x=my+$\frac{1}{2}$…（7分）
联立方程组消去x，并整理得4（3m²+4）y²+12my-45=0（6分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则
∴y₁+y₂=-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$，（7分）
∴y₀=-$\frac{3m}{2（3{m}^{2}+4）}$，x₀=$\frac{2}{3{m}^{2}+4}$，
∴k=$\frac{m}{4{m}^{2}+4}$，（9分）
①当m=0时，k=0；（10分）
②当m≠0时，k=$\frac{1}{4m+\frac{4}{m}}$，
∵|4m+$\frac{4}{m}$|=4|m|+$\frac{4}{|m|}$≥8，∴0＜|k|≤$\frac{1}{8}$，∴-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$且k≠0．（11分）
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：-$\frac{1}{8}$≤k≤$\frac{1}{8}$．…（12分）

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线间的关系，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．