Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F₂的坐标是（4，0），过F₂引圆x²+y²=a²的两条切线，切点分别为A，B，∠AOB=120°（O为坐标原点），则双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{64}-\frac{{y}^{2}}{48}=1$．

Answer 1

分析 根据题意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得双曲线的离心率．然后求解双曲线方程．

解答 解：如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，
∴∠AOF=60°，又OA=a，
OF=c，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{OA}{OF}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=2．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F₂的坐标是（4，0），可得c=4，则a=8，则b²=48，
所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{64}-\frac{{y}^{2}}{48}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{64}-\frac{{y}^{2}}{48}=1$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．