Question

2．已知函数$f（x）=2{sin^2}x+\sqrt{3}sin2x+1$．求：
（1）f（x）的单调递增区间；
（2）f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）先根据两角和公式对函数解析式进行化简，再根据正弦函数的性质得出答案．
（2）确定变量的范围，即可求出f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

解答 解：（1）$f（x）=2{sin^2}x+\sqrt{3}sin2x+1$=$1-cos2x+\sqrt{3}sin2x+1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x+2$
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+2$
$\begin{array}{l}∴-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ\\∴-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ\end{array}$
∴f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]$
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$
∴f（x）∈[1，4]．

点评 本题主要考查两角和公式及三角函数单调性、最值问题．把三角函数化简成y=Asin（ωx+φ）的形式很关键．