Question

17．如图，ABCD是边长2的菱形，其中∠DAB=60°，ED垂直平面ABCD，ED=1，EF∥BD且2EF=BD．
（1）求证：平面EAC⊥垂直平面BDEF；
（2）求几何体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由ED⊥平面ABCD可得ED⊥AC，再由四边形ABCD是菱形，得BD⊥AC，然后利用线面垂直的判定可得AC⊥平面BDEF．从而得到平面EAC⊥平面BDEF；
（2）设AC∩BD=O，连结FO，由EF∥DO，且EF=DO，可得四边形EFOD是平行四边形，再由ED⊥平面ABCD，可得EO⊥DO，进一步得到AC⊥平面BDEF．
∴点A到平面BDEF的距离等于就是△ABD边BD上的高，求解直角三角形求得点A到平面BDEF的距离，再由几何体ABCDEF的体积V=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF求得答案．

解答 （1）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴ED⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又ED∩DB=D，
∴AC⊥平面BDEF．
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF；
（2）设AC∩BD=O，连结FO，∵EF∥DO，且EF=DO，
∴四边形EFOD是平行四边形，
又ED⊥平面ABCD，可得EO⊥DO，
∴四边形EFOD是矩形．
∵AC⊥平面BDEF．
∴点A到平面BDEF的距离等于就是△ABD边BD上的高，
且高$h=2sin{60°}=\sqrt{3}$．
∴几何体ABCDEF的体积V=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属中档题．