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    7．已知双曲线$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；
    （1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
    （2）若b=1，点P的坐标为（-1，0），且$\overrightarrow{NP'}=\frac{3}{2}\overrightarrow{P'Q}$，求k的值；
    （3）若m=2，求n关于b的表达式．

    分析 （1）由双曲线$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，求出c=2，a=1，由此能求出Γ的标准方程，从而能求出Γ的渐近线方程．
    （2）双曲线Γ为：x2-y2=1，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值．
    （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，则${P}^{'}（-{{x}_{1}，{y}_{1}），{l}_{PQ}={k}_{0}x+n}^{\;}$，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b2-k2）x2-4kx-4-b2=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x+n}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（${b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}$）x2-2k0nx-n2-b2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式．

    解答 解：（1）∵双曲线$Γ：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，
    ∴c=2，a=1，∴b2=c2-a2=4-1=3，
    ∴Γ的标准方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
    Γ的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$．
    （2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2-y2=1，P（-1，0），P′（1，0），
    ∵$\overrightarrow{N{P}^{'}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{P}^{'}Q}$，设Q（x2，y2），
    则有定比分点坐标公式，得：
    $\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{0+\frac{3}{2}{x}_{2}}{1+\frac{3}{2}}}\\{0=\frac{n+\frac{3}{2}{y}_{2}}{1+\frac{3}{2}}}\end{array}\right.$，解得${x}_{2}=\frac{5}{3}$，∵${{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=1$，∴${y}_{2}=±\frac{4}{3}$，
    ∴$k=\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}+1}$=$±\frac{1}{2}$．
    （3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，
    则${P}^{'}（-{{x}_{1}，{y}_{1}），{l}_{PQ}={k}_{0}x+n}^{\;}$，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b2-k2）x2-4kx-4-b2=0，
    ${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4k}{{b}^{2}-{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-4-{b}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x+n}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（${b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}$）x2-2k0nx-n2-b2=0，
    -x1+x2=$\frac{2{k}_{0}n}{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，-x1x2=$\frac{-{n}^{2}-{b}^{2}}{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，
    ∴x1x2=$\frac{-4-{b}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}$，即$\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$，即$\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{-4-{b}^{2}}$，
    $\frac{k}{{k}_{0}}$=$\frac{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}{\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2k}{{k}_{0}n}•\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{2k}{{k}_{0}n}•\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{-4-{b}^{2}}$，
    化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，
    ∴n=-2或n=$\frac{{b}^{2}}{-2}$，
    当n=-2，由$\frac{{b}^{2}-{{k}_{0}}^{2}}{{b}^{2}-{k}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+{b}^{2}}{-4-{b}^{2}}$，得2b2=k2+k02，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{0}x-2}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{{k}_{0}-k}}\\{y=\frac{2k+2{k}_{0}}{{k}_{0}-k}}\end{array}\right.$，
    即Q（$\frac{4}{{k}_{0}-k}$，$\frac{2k+2{k}_{0}}{{k}_{0}-k}$），代入x2-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，化简，得：
    ${b}^{2}-（4+k{k}_{0}）{b}^{2}+4k{k}_{0}=0$，解得b2=4或b2=kk0，
    当b2=4时，满足n=$\frac{{b}^{2}}{-2}$，
    当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去），
    综上，得n=$\frac{{b}^{2}}{-2}$．

    点评 本题考查双曲线的渐近线的求法，考查直线的斜率的求法，考查n关于b的表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用．

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    （2）求几何体ABCDEF的体积．

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    18．为了保护环境发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{x}^{3}-80{x}^{2}+5140x，x∈[120，144]}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-100x+80000，x∈[144，400]}\end{array}\right.$且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
    （Ⅰ）当x∈[150，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
    （Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时？才能使每吨的平均处理成本最低？

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    （Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（只需写出结论即可）
    （Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），若h（x）在区间（-1，3）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
    （Ⅲ）若存在实数m∈[2，5]，使得对于任意的x1∈[0，2]，x2∈[-2，-1]，都有f（x1）-m≥g（2${\;}^{{x}_{2}}$）-5成立，求实数a的最大值．

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    A．$（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$B．$（{\sqrt{5}，+∞}）$C．$（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\sqrt{5}}）$D．$（{1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）∪（{\sqrt{5}，+∞}）$

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    16．已知数列{an}的首项a1=m，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=3n2+2n，若对?n∈N+，an＜an+1恒成立，则m的取值范围是（-2，$\frac{5}{3}$）．

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