Question

19．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点．将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连结EF，A'B．
（1）求异面直线A'D与EF所成角的大小；
（2）求三棱锥D-A'EF的体积．

Answer 1

分析 （1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，由线面垂直的判定可得A'D⊥平面A'EF．从而得到A'D⊥EF；
（2）已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，可得A'E²+A'F²=EF²，则A'E⊥A'F，求出三角形A′EF的面积，结合（1）可知三棱锥D-A'EF的高A'D=2，代入棱锥体积公式求得三棱锥D-A'EF的体积．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵AD⊥AE，CD⊥CF，∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，
又A'E∩A'F=A'，A'E，A'F?平面A'EF，∴A'D⊥平面A'EF．
而EF?平面A'EF，∴A'D⊥EF，
∴异面直线A'D与EF所成角的大小为90°；
（2）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴在Rt△BEF中，BE=BF=1，得$EF=\sqrt{2}$，
而A'E=A'F=1，
∴A'E²+A'F²=EF²，则A'E⊥A'F，
∴${S_△}_{A'EF}=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
由（1）得A'D⊥平面A'EF，且A'D=2，
∴${V_{D-A'EF}}=\frac{1}{3}{S_{△A'EF}}A'D=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，属中档题．