Question

10．若存在实数α∈R，$β∈[\frac{π}{2}，π]$，使得实数t同时满足$t={cos^2}β+\frac{α}{2}cosβ$，α≤t≤α-2cosβ，则t的取值范围是（　　）

• A． $[-\frac{2}{3}，0]$
• B． $[0，\frac{4}{3}]$
• C． $[\frac{4}{3}，2]$
• D． [2，4]

Answer 1

分析 根据题意求出t≥$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$，设f（t）=$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$，求出f（t）的最小值；再根据题意求出t≤$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$，设g（t）=$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$=2f（t），求出g（t）的最大值，从而求出实数t的取值范围．

解答 解：∵β∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴-1≤cosβ≤0；
∵α≤t，∴$t={cos^2}β+\frac{α}{2}cosβ$≥cos²β+$\frac{t}{2}$cosβ，
即t≥$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$；
令f（t）=$\frac{{2cos}^{2}β}{2-cosβ}$，则
f′（t）=$\frac{4cosβ•（-sinβ）（2-cosβ）-{2cos}^{2}βsinβ}{{（2-cosβ）}^{2}}$=$\frac{2cosβsinβ（cosβ-4）}{{（2-cosβ）}^{2}}$；
令f′（t）=0，解得sinβ=0或cosβ=0；
当sinβ=0时，cosβ=-1，
此时f（t）=$\frac{2}{2-（-1）}$=$\frac{2}{3}$，
当cosβ=0时，f（t）=0为最小值；
又t≤α-2cosβ，∴α≥t+2cosβ，
∴t≤cos²β+$\frac{t+2cosβ}{2}$•cosβ，
即t≤$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$；
令g（t）=$\frac{{4cos}^{2}β}{2-cosβ}$=2f（t），
则g′（t）=2f′（t）=2•$\frac{2cosβsinβ（cosβ-4）}{{（2-cosβ）}^{2}}$；
令g′（t）=0，解得sinβ=0或cosβ=0；
当sinβ=0时，cosβ=-1，
此时g（t）=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$为最大值，
当cosβ=0时，g（t）=0；
综上，实数t的取值范围是[0，$\frac{4}{3}$]．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换应用以及导数的综合运用问题，也考查了构造函数与求最值问题，是综合性题目．