Question

20．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（0，$\sqrt{3}$），离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（1，0）且斜率为1的直线被椭圆C所截线段的长度．

Answer 1

分析 （1）求出b，根据e²=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，求出a的值，所以即可得到椭圆方程．
（2）求出直线l的方程，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出线段的长度即可．

解答 解：（1）依题意有b=$\sqrt{3}$，e²=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，所以a=2，
所求方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意直线l：y=x-1，设l交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$消去y得7x²-8x-8=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以根据弦长公式得到AB=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．