Question

5．设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为$\frac{2}{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）已知a=1，求出函数的导数，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．
（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．

解答 解：（1）当a=1时，f′（x）=$\frac{2-{x}^{2}}{x（2-x）}$，
∴当x∈（0，$\sqrt{2}$）时，f′（x）＞0，
当x∈（$\sqrt{2}$，2）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，$\sqrt{2}$），
单调递减区间为（$\sqrt{2}$，2）；…（5分）  
（2）当x∈（0，1]时，f′（x）=$\frac{2-2x}{x（2-x）}$+a＞0，
即f（x）在（0，1]上单调递增，
故f（x）在 （0，1]上的最大值为f（1）=a，
因此a=$\frac{2}{3}$．…（10分）

点评 本题考查了考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识，属于中档题．