Question

15．已知函数f（x）=|x²-2x-3|，g（x）=x+a．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（只需写出结论即可）
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），若h（x）在区间（-1，3）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若存在实数m∈[2，5]，使得对于任意的x₁∈[0，2]，x₂∈[-2，-1]，都有f（x₁）-m≥g（2${\;}^{{x}_{2}}$）-5成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式，根据函数的零点得到关于a的不等式组，解出即可；
（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）-m，G（x）=g（2^x）-5，分别求出F（x）的最小值和G（x）的最大值，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数y=f（x）的单调递增区间为[-1，1]，[3，+∞）；
（不要求写出具体过程）…（3分）
（Ⅱ）∵-1＜x＜3，∴h（x）=f（x）-g（x）=|x²-2x-3|-x-a=-x²+x+3-a，
由题意知，$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{h（-1）＜0}\\{h（3）＜0}\end{array}}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{13}{4}\\ a＞1\\ a＞-3\end{array}\right.$得$1＜a＜\frac{13}{4}$；…（7分）
（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）-m，G（x）=g（2^x）-5，
由题意，F（x）在[0，2]上的最小值不小于G（x）在[-2，-1]上的最大值，
F（x）=|x²-2x-3|-m=-x²+2x+3-m=-（x-1）²+4-m（0≤x≤2），
当x=0，或x=2时，F（x）_min=3-m，G（x）=g（2^x）-5=2^x+a-5在区间[-2，-1]单调递增，
当x=-1时，$G{（x）_{max}}=G（-1）=a-\frac{9}{2}$，∴存在m∈[2，5]，使得$3-m≥a-\frac{9}{2}$成立，
即$a≤{（\frac{15}{2}-m）_{max}}$，∴$a≤\frac{11}{2}$．∴a的最大值为$\frac{11}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．