Question

16．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=45°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．
（1）求证：BC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（3）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明BC∥B₁C₁，然后证明BC∥平面A₁B₁C₁．
（2）证明CB⊥AB．CB⊥BB₁，推出CB⊥面AA₁B₁B，得到CB⊥AB₁，然后证明AB₁⊥A₁B，即可证明AB₁⊥面A₁BC．
（3）过B作BD⊥A₁B₁于D，说明BD⊥面AA₁B₁B，然后求解几何体的体积即可．

解答 解：（1）证明：∵四边形BCC₁B₁为矩形，
∴BC∥B₁C₁，
∵BC?平面A₁B₁C₁，B₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴BC∥平面A₁B₁C₁．
（2）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，
满足AC²=AB²+BC²，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB．
又因为四边形BCC₁B₁为矩形，所以CB⊥BB₁，
又$\left\{\begin{array}{l}CB⊥B{B_1}\\ CB⊥AB\\ B{B_1}?面A{A_1}{B_1}B\\ AB?面A{A_1}{B_1}B\\ B{B_1}∩AB=B\end{array}\right.$，所以CB⊥面AA₁B₁B，
又因为AB₁?面AA₁B₁B，所以CB⊥AB₁，
又因为四边形A₁ABB₁为菱形，所以AB₁⊥A₁B，
又$\left\{\begin{array}{l}A{B_1}⊥CB\\ A{B_1}⊥{A_1}B\\ CB?面{A_1}BC\\{A_1}B?面{A_1}BC\\ CB∩{A_1}B=B\end{array}\right.$，所以AB₁⊥面A₁BC．
（3）解：过B作BD⊥A₁B₁于D，
由第（1）问已证CB⊥面AA₁B₁B，
∴C₁B₁⊥面AA₁B₁B，
∴C₁B₁⊥BD，
∴BD⊥面AA₁B₁B，
由题设知$BD=2\sqrt{2}$，
∴${V_{锥C-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{A_1}{B_1}•{B_1}{C_1}•BD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×3×2\sqrt{2}$=$4\sqrt{2}$．
∴三棱锥C-A₁B₁C₁的体积是$4\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．