Question

7．已知$f（x）=sin（2017x+\frac{π}{6}）+cos（2017x-\frac{π}{3}）$的最大值为A，若存在实数x₁，x₂使得对任意实数x总有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则A|x₁-x₂|的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{2017}$
• B． $\frac{2π}{2017}$
• C． $\frac{4π}{2017}$
• D． $\frac{π}{4034}$

Answer 1

分析 根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出 A|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：$f（x）=sin（2017x+\frac{π}{6}）+cos（2017x-\frac{π}{3}）$
=sin2017xcos$\frac{π}{6}$+cos2017xsin$\frac{π}{6}$+cos2017xcos$\frac{π}{3}$+sin2017xsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2017x+$\frac{1}{2}$cos2017x+$\frac{1}{2}$cos2017x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2017x
=$\sqrt{3}$sin2017x+cos2017x
=2sin（2017x+$\frac{π}{6}$）．
或$f（x）=sin（2017x+\frac{π}{6}）+cos（2017x-\frac{π}{3}）$
=$sin（2017x+\frac{π}{6}）+cos（\frac{π}{3}-2017x）$
=2sin（2017x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x） 的最大值为A=2；
由题意得，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2017}$，
∴A|x₁-x₂|的最小值为$\frac{2π}{2017}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．