Question

19．已知在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，如图，动点P是在以O点为圆心，OB为半径的扇形内运动（含边界）且∠BOC=90°；设$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则x+y的取值范围[-2，1]．

Answer 1

分析 以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
表示出点A、B的坐标，得出$\overrightarrow{OP}$的坐标表示，从而求出x，y满足的约束条件，
再利用线性规划的方法求出目标函数z=x+y的最值即可得出结果．

解答 解：以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；

则A（1，0），B（0，2），
∴$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（x，0）+（0，2y）=（x，2y），
则x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤0}\\{0≤y≤1}\\{{x}^{2}{+4y}^{2}≤4}\end{array}\right.$，
作出可行域如图所示，
令z=x+y，化目标函数为y=-x+z，
由图可知，当直线y=-x+z过点（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值1；
当直线y=-x+z过点（-2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值-2；
则x+y的取值范围是[-2，1]．
故答案为：[-2，1]．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，也考查了数形结合的解题方法和转化思想，是综合性题目．