Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）知，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁）⇒a₁=$\frac{1}{3}$，从而可知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，于是可求得数列{a_n}的通项

解答 解：（1）因为S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n），
所以，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n）-$\frac{1}{2}$（1-a_n-1）=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，
化简得2a_n=-a_n+a_n-1，整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁）⇒a₁=$\frac{1}{3}$，从而可知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
所以a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
（2）函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=1+2+3+4…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，T_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，所以T_n的取值范围为[1，2）．

点评 本题考查数列递推式的应用，得到数列为等比数列，进一步通过对数运算得到得到f（a_n），T_n是关键，考查等比关系的确定及其通项公式的应用，属于中档题