Question

5．在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠APC=∠BPC=60°．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）若PB=4，BE⊥PC，求三棱锥B-PAE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证AB⊥平面PDC，再由线面垂直的性质证明AB⊥PC；
（Ⅱ）求出底面面积，以及高，转化求V_P-ABE，即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点D，连结PD，CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
∴AB⊥平面PDC，PC?平面PDC，
∴AB⊥PC；
（Ⅱ）连结AE．BE⊥PC，
∵△PAB是等边三角形，∴AE⊥PC，AB⊥PC，PC⊥平面EAB，
PB=4，AB=PA=4，∠APC=∠BPC=60°，可得PE=2，BE=AE=2$\sqrt{3}$，DE=2$\sqrt{2}$．
∴V_P-ABE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{2}$×4×2=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的证明与性质，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的推理论证能力及空间想象能力．