Question

10．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差数列（n∈N^*）．
（1）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（1-an）log₂（a_na_n+1），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推公式、等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）得b_n=（1-an）log₂（a_na_n+1）=（2n+1）（2n-1），可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵2ⁿ⁺¹，S_n，a成等差数列（n∈N^*）．∴2S_n=2ⁿ⁺¹+a，
当n=1时，2a₁=4+a，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．
∵数列{a_n}是等比数列，
∴a₁=1，则4+a=2，解得a=-2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1．
（2）由（1）得b_n=（1-an）log₂（a_na_n+1）=（2n+1）（2n-1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．