Question

15．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的一个焦点为F（-1，0），左、右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（1）当直线l的倾斜角为45^°时，求线段CD的长；
（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）同椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线方程为y=x+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得7x²+8x-8=0，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出CD的长．
（2）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1，|S₁-S₂|=0，当直线l斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|S₁-S₂|的最大值．

解答 解：（1）因为F（-1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b²=3，
所以a²=4，所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，消掉y，得到7x²+8x-8=0，
所以△=288，x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
所以线段CD的长|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24}{7}$．
（2）当直线l无斜率时，直线方程为x=-1，
此时D（-1，$\frac{3}{2}$），C（-1，-$\frac{3}{2}$），△ABD，△ABC面积相等，|S₁-S₂|=0，
当直线l斜率存在（由题意知k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
和椭圆方程联立得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，消掉y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
△＞0，方程有根，且x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
此时|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₂+1）+k（x₁+1）|
=2|k（x₂+x₁）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{3}{|k|}+4|k|}$≤$\frac{12}{2\sqrt{\frac{3}{|k|}+4|k|}}$=$\frac{12}{2\sqrt{12}}$=$\sqrt{3}$（k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时等号成立）
所以|S₁-S₂|的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查两三角形面积差的绝对值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．