Question

5．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲，乙两座城市2016年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从甲，乙两城市共采集的40个数据样本中，从PM2.5日均值在[60，80]范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；
（Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，则甲，乙两城市一年（按365天计算）中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从甲，乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在[60，80]范围内的数有6个；
利用列举法求出从这6个数据中随机抽取2个的基本事件数，计算对应的概率；
（Ⅱ）分别计算甲、乙城市一年中每天空气质量达到一级或二级的概率，
由n次独立重复实验的概率模型计算数学期望即可．

解答 解：（Ⅰ）从甲，乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在[60，80]范围内的数有
63，64，68，76，78，79共6个；
从这6个数据中随机抽取2个，基本事件是
（63、64），（63、68），（63、76），（63、78），（63、79），
（64、68），（64、76），（64、78），（64、79），（68、76），
（68、78），（68、79），（76、78），（76、79），（78、79）共15个，
取到2天的PM2.5均超标（大于75）的事件为
（76，78），（76，79），（78，79）共3个；
所求的概率为P=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$；
（Ⅱ）甲城市一年中每天空气质量达到一级或二级的有15个，概率为$\frac{3}{4}$，
由ξ～B（365，$\frac{3}{4}$）得，
Eξ=365×$\frac{3}{4}$≈274（天）；
乙城市一年中每天空气质量达到一级或二级的有16个，概率为$\frac{4}{5}$，
由η～B（365，$\frac{4}{5}$）得，
Eη=365×$\frac{4}{5}$=292（天）．

点评 本题考查了列举法求概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的数学期望求法问题，是基础题目．