Question

14．抛物线x²=-6by的准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右支分别交于B、C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出点C的坐标，再得到∠AOC=∠BOC=60°，根据斜率公式得到$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{13}{3}$，再根据离心率公式计算即可．

解答 解：抛物的准线为y=$\frac{3}{2}$b，
∴点B（-$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，$\frac{3}{2}$b），C（$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，$\frac{3}{2}$b），
∵∠AOC=∠BOC=60°，
∴k_OC=$\frac{3\sqrt{13}a}{13b}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{13}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{13}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故选：C

点评 本题考查了抛物线和双曲线的性质，属于基础题．