Question

19．在极坐标系下，点P是曲线ρ=2（0＜θ＜π）上的动点，A（2，0），线段AP的中点为Q，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；
（2）若轨迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，求点M横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）曲线ρ=2（0＜θ＜π），即ρ²=4，（0＜θ＜π），化为直角坐标方程：x²+y²=4（0＜y≤2）．设线段AP的中点Q（x，y），A（x′，y′），则$x=\frac{2+{x}^{′}}{2}$，y=$\frac{{y}^{′}}{2}$，解得x′=2x-2，y′=2y．代入方程（x′）²+（y′）²=4，即可得出．
（2）轨迹C的方程为：y=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，设M（x₀，y₀）．y′=$\frac{1-x}{\sqrt{2x-{x}^{2}}}$，根据迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，可得$-\sqrt{3}$≤$\frac{1-{x}_{0}}{\sqrt{2{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}}$≤$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，解出即可得出．

解答 解：（1）曲线ρ=2（0＜θ＜π），即ρ²=4，（0＜θ＜π），化为直角坐标方程：x²+y²=4（0＜y≤2）．
设线段AP的中点Q（x，y），A（x′，y′），则$x=\frac{2+{x}^{′}}{2}$，y=$\frac{{y}^{′}}{2}$，解得x′=2x-2，y′=2y．
∵（x′）²+（y′）²=4，∴（2x-2）²+（2y）²=4，化为：（x-1）²+y²=1．
由y′∈（0，2]，可得0＜2y≤2，解得0＜y≤1．
∴点Q的轨迹C的直角坐标方程：（x-1）²+y²=1（0＜y≤1）．
（2）轨迹C的方程为：y=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，设M（x₀，y₀）．
y′=$\frac{（2x-{x}^{2}）^{′}}{2\sqrt{2x-{x}^{2}}}$=$\frac{1-x}{\sqrt{2x-{x}^{2}}}$，
∵迹C上的点M处的切线斜率的取值范围是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]，
∴$-\sqrt{3}$≤$\frac{1-{x}_{0}}{\sqrt{2{x}_{0}-{x}_{0}^{2}}}$≤$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：$\frac{3}{2}$≤x₀≤$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
∴点M横坐标的取值范围是$[\frac{3}{2}，\frac{2+\sqrt{3}}{2}]$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、利用导数研究曲线切线的斜率、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．