Question

1．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若$∠A{F_2}B＜\frac{π}{3}$，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． $（{1，\sqrt{3}}）$
• B． $（{1，\sqrt{6}}）$
• C． $（{1，2\sqrt{3}}）$
• D． $（{\sqrt{3}，3\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 直接利用双曲线的通径与$∠A{F_2}B＜\frac{π}{3}$，得到a，b，c的关系，运用离心率公式，求出双曲线的离心率的范围．

解答 解：由题意可知，双曲线的通径为：$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
因为过焦点F₁且垂直于x轴的弦为AB，若$∠A{F_2}B＜\frac{π}{3}$，
所以$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}$=tan∠AF₂B＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，e=$\frac{c}{a}$＞1，
所以$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}e-\frac{1}{2e}＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，由解得e∈（1，$\sqrt{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．