Question

已知函数f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1．
（1）求使函数取得最大值的集合；
（2）求函数的单调减区间；
（3）指出函数的图象可由y=sinx的图象经过哪些变换而得到．

Answer 1

分析：（1）先对原函数化简整理为f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

），令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，即可求出使函数取得最大值的集合；
（2）直接利用正弦函数的单调递减区间的求法，令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即可求出函数的单调减区间；
（3）直接利用函数图象的左加右减上加下减以及伸缩变换的规律即可得到结论．

解答：解：（1）因为f(x)=2cos2

x

4

+

3

sin

x

2

-1
=cos

x

2

+

3

sin

x

2

=2sin(

x

2

+

π

6

)，…（2分）
所以：当sin(

x

2

+

π

6

)=1时，函数取得最大值2，…（4分）
令

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

2

，得x=4kπ+

2π

3

，k∈Z，
即使函数取得最大值的集合是{x|x=4kπ+

2π

3

，k∈Z}．…（6分）
（2）令2kπ+

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
解得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

，k∈Z，
所以；函数的单调减区间为[4kπ+

2π

3

， 4kπ+

8π

3

]，k∈Z．…（10分）
（3）将的图象上每一点向左平移

π

6

个单位长度，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）．
或：将的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移

π

3

个单位长度，
再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的单调区间的求法．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意左右平移时，平移的是自变量本身．